"Determinante de Gauss"

Instituto Patria Nueva

Determinante de Gauss

"Matemáticas III"

Prof. Marco Antonio Morales Contreras.

Julieta López Jiménez.

3°B BACHILLERATO.

31/08/2017. Villahermosa, Tab.

Determinante de Gauss, herramienta para la graficación de polígonos.

Dadas las coordenadas de un polígono formado en el plano cartesiano se puede determinar su área por el método determinante de Gauss y su perímetro por la fórmula de la distancia entre dos puntos. 

Conocido también como el método de lazada debido al constante cruce de operaciones parecido al de los lazados de los tenis, es un método práctico para calcular cualquier área de polígono ya que su fórmula es bastante sencilla de comprender (si se lleva a cabo correctamente el procedimiento) y poco extensa.

Área

Para poder calcular el área del polígono se debe tomar de base principalmente la fórmula que Gauss proporciona:

     1. Se forma el determinante (las dos columnas) con las coordenadas de lo vértices del polígono, considerando un orden igual al del giro de las manecillas del reloj.

     2. Se procede a multiplicar cruzadamente sumando cada uno de los resultados. Tomando en cuenta que la primera coordenada se debe poner dos veces: al principio y al final de la matriz (así como se muestra en el ejemplo de abajo).

= (2(2)+ 1(1)+ 4(3))

  (-3(1)+ 2(4)+ 1(2))

=(4+1+12)

=-(3+8+2)

= 1/2 |17-13| = |4|

     3. Ahora, debes dividir el resultado de tu determinante entre dos. La unidad de tu resultado será u^2.

= 4/2= 2u^2

Perímetro

Ahora bien, tomando como referencia el mismo polígono, debemos de calcular cada uno de los segmentos formados en el polígono para así poder obtener su perímetro.

De manera que primero debemos determinar cuál será el segmento que se calculará primero. Mi referencia será el segmento AB.

La fórmula general para realizar este procedimiento es la siguiente:

Esta fórmula nace debido a que al proyectar los puntos de un segmento y generar un triangulo rectángulo podemos despejar el teorema de Pitágoras para este tipo de situaciones, sin embargo, no necesariamente debe ser un triángulo rectángulo para poder utilizar este procedimiento, es por eso que es una formula general.

Sustituimos los valores, combinandolos de la siguiente forma:

Lo siguiente seria despejar la fórmula, tratando de dejar los resultados en raíz para evitarnos los decimales periódicos.

Posteriormente, debemos realizar dicha operación con cada uno de los segmentos:

Finalmente, debemos sumar el resultado de los rayos para así poder obtener el perímetro que es igual al contorno de toda la figura.

Muchas veces podemos llegar a creer que un problema es sumamente difícil cuando vemos el algoritmo que debemos llevar, sin embargo cuando logras analizarlo correctamente y conectar tus ideas comprendes el tema y por consiguiente podrás llevarlo a la práctica. 

Entonces, al conocer estos métodos podremos determinar el área y perímetro de cualquier polígono ya que estas son fórmulas generales para cualquier situación.

Si crees que necesitas repasar el tema una vez más, te invito a que visites los siguientes links como sugerencia mía.

Área y perímetro de un triángulo

Área de polígonos conociendo sus vértices

Área por medio de determinantes

Perímetro de un polígono

REFERENCIAS

1. Desconocido. (Desconocido de Desconocido de Desconocido). Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones. Obtenido de Universidad de granada: http://www.ugr.es/~mmartins/docencia/Biotec/M1_T1.pdf
2. García., P. F. (16 de Marzo de 2011). CÁLCULO DEL ÁREA DE UN POLÍGONO. Obtenido de Scribd: https://es.scribd.com/doc/50892425/CALCULO-DEL-AREA-DE-UN-POLIGONO
3. Gerarjam. (18 de Septiembre de 2009). Área de polígonos . Obtenido de Slide share: https://es.slideshare.net/gerarjam/rea-de-polgonos-2020579
4. MateFacil. (14 de Julio de 2016). 08. Perímetro de un triángulo en el plano cartesiano (con gráfica y fórmula de distancia). Obtenido de Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=pGDsRSooBY0
5. Quidiello, M. J. (05 de Octubre de 2013). Determinante de una matriz por el método de Gauss. Obtenido de Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=4A1igGh05FM

Identidad trigonométrica pitagórica

Una identidad es aquella ecuación en la que sin importar que los valores que se sustituyan, el producto es exactamente el mísmo en ambos lados de la ecuación.

Pitágoras dice que la suma de los dos catetos al cuadrado de un triángulo rectángulo siempre van a ser igual a la hipotenusa al cuadrado, es por eso que partiendo de este teorema desarrollaremos la identidad trigonométrica pitagórica:

Otro ejemplo para poder explicar de dónde sale esta identidad trigonométrica es este:
Dónde finalmente podremos aplicar estas identidades para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas principalmente.

Con polígonos represento mi historia

Un polígono es una figura geométrica plana limitada por un número finito de líneas rectas conectadas que forman una figura cerrada. Los puntos donde dos líneas rectas del polígono se unen son los vértices.

Muchas veces los polígonos los vemos diariamente inmersos en todas las cosas cotidianas, sin embargo, no nos damos cuenta de esto...

Hace 54 años, cuando fue instalado en la esquina de las avenidas Paseo Tabasco y Adolfo Ruiz Cortines, era uno de los tres que existían en el mundo; los otros dos estaban en Canadá y en Japón. 

En 1980, el Reloj Floral fue colocado en el entonces inaugurado complejo urbanístico de Tabasco 2000, aunque al estar sobre un camellón central de la prolongación de Paseo Tabasco, era visible, sobre todo para automovilistas.

No fue hasta el 30 de mayo de 2016 que bajo el gobierno del Lic. Arturo Núñez Jiménez que se cambió de cede, siendo reúbicado en el Paseo Tabasco, esto con fines turísticos.

REFERENCIAS

• http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/poligono/
• http://www.tabascohoy.com/nota/314853/inauguran-nuevo-reloj-floral-de-villahermosa
• http://www.20minutos.com.mx/noticia/95224/0/reloj-floral-de-villahermosa-reanuda-operaciones-en-nueva-sede/

Lo tipos de triangulos y sus clasificaciones

Los triángulos son figuras geométricas que se forman por la unión de tres segmentos de rectas llamados lados y tres puntos no alineados llamados vértices.Éstos a su vez son vistos como figuras convexas que tienen tres ángulos interiores, tres vértices y tres pares de ángulos exteriores congruentes. 

Cabe destacar que los ángulos internos de cualquier triángulo siempre van a sumar 180° grados.

Triángulo de Pascal

Blaise Pascal

Impulsado por su padre, Blaise Pascal se adentra en la geometría y las matemáticas con tan solo 12 años, lo que lo convierte en un genio precoz que tuvo gran influencia en el siglo XVII con notables inventos tales como el desarrollar una maquina para sumar y el triángulo aritmético que hoy conocemos como Triángulo de Pascal.

Triángulo de Pascal o Triángulo de Tartaglia (da click aquí para ver un video del tema)

Es una tabla numerica infinita de forma triangular que nos permite resolver toda una gama de problemas de calculo. 

Propiedades

1. Todas las filas empiezan y acaban en 1.
2. El vértice superior comienza en 1.
3. Para obtener los siguientes renglones siempre vamos a sumar los números que estén uno al lado del otro tomando como termino general: (a+b)^n. Por ejemplo, para obtener el 2 que está en el tercer renglón sumamos a+b que en este caso son 1+1 del segundo renglón.
4. El termino general que se usa durante la elaboración del triangulo es: (a+b)^n.  

Una forma sencilla de encontrar los coeficientes del resultado de elevar el binomio (x + a)^n.
Los números que arroja (coeficientes) el artificio matemático del triángulo de Pascal se colocan aparte y a estos se les agrega las literales que me proporciona el problema y colocando las potencias en contrasentido, es decir, primero colocamos las potencias de izquierda a derecha para la primera literal y después de derecha a izquierda para la segunda literal.
Por ejemplo.

•  En este caso, los coeficientes son: 

1   5    10   10   5   1 

• Escribimos la primera literal que es x a un lado de cada coeficiente. 

1x   5x   10x   10x   5x   1x  

• Ahora vamos a escribir los exponentes de esas literales. Empezamos con el exponente al cual estamos elevando el binomio, en este caso, 5, y conforme avanzamos a la derecha, exponentes van disminuyendo, uno en cada literal.

• Escribimos la otra literal, a junto a cada literal x:

• Le ponemos exponente a las letra a.

• El paso siguiente es colocar los signos + entre los términos, quedando como: 

Binomio de Newton

Una de las razones de la importancia del Triángulo de Pascal o de Tartaglia, es su relación con el BINOMIO DE NEWTON que permite un rápido y fácil cálculo de binomios elevados a cualquier exponente natural utilizando la formula: 

Este toma de referencia los coeficientes del Triángulo de Pascal para determinar el desarrollo de la potencia requerída.

Por ejemplo.

Ten en cuenta que...

• Los denominadores, de acuerdo a la formula, irán del 0 hasta n (que en este caso es 4).
• Con forme k aumenta, n disminuye.

AYUDA

Te dejo a continuación unos videos que espero sean de ayuda para reforzar los anterior.

Referencias

• http://www.estadisticaparatodos.es/taller/triangulo/triangulo.html
• https://es.scribd.com/doc/42385386/Triangulo-de-Pascal
• http://centros5.pntic.mec.es/~marque12/matem/tripasca.htm
• http://www.aprendematematicas.org.mx/notas/algebra/DGB1_2_5.pdf
• http://www.vitutor.com/pro/1/a_n.html

Operaciones con polinomios

El prefijo poli significa “muchos”. Polinomio significa entonces “muchos términos”. 

Un polinomio es una expresión algebraica que está conformada por: constantes, variables y exponentes, estos, se encuentran combinados usando sumas, restas y multiplicaciones.

Las características principales de estos son:

1. El polinomio más sencillo es aquel que tiene un término y se lo llama Monomio.
2. Si un polinomio tiene dos términos, se llama BINOMIO.
3. A partir de cinco términos, se los llama, POLINOMIO DE , cinco, seis, siete, etc. términos.

Ejemplo.

Muchas veces, solo con el simple hecho de mirar las literales y los exponentes pensamos que será algo difícil de realizar, sin embargo, si bien no es un proceso complicado, es un poco largo pero que, con la práctica, lograrás dominar rápidamente.

Multiplicación

Para multiplicar los polinomios, primero debemos de llevar un orden, es decir, comenzar con el primer termino siempre y operar de manera distributiva a los demás términos de acuerdo a el termino primero.

Toma este ejemplo para poder darte una idea.

(2x+4) (3x^2-4x)

=2x(3x^2-4x)+4(3x^2-4x)

=6x^3-8x^2+12x^2-16x

=6x^3+4x^2-16x

Suma

Para realizar una suma de polinomios, el primer paso a realizar es visualizar los términos y eliminar los paréntesis, ¿cómo?, multiplicando por el signo que se encuentra a fuera del paréntesis.

Comencemos con un ejemplo para que hagamos esto paso a paso.

(7x-10x)+(8+5x)-(+y-3x^2+x)

=7x-10x+8x+5x-x+3x^2-x

Recuerda

Cada que afuera de un paréntesis existe el signo +, todo el termino quedará igual. Si hay un signo -, todos los signos cambian.

Ahora bien, continuando con la suma. El paso siguiente que debemos realizar es el de reducir términos, en otras palabras, debemos buscar todos los números con la misma literal y sumarlos algebraicamente.

=7x-10x+8x+5x-x+3x^2-x

= (7+5-1)= 11x -(-10+8-1)= -3x 

=11x-3x+3x^2

Recuerda

• Cuando una literal no tiene letra, se interpreta como si tuviese un 1.
• Si existe un término único, simplemente se pasa igual.

Resta

Primero que nada, al igual que en la suma, lo primero que debemos hacer es eliminar los paréntesis de igual forma.

(5x-1)-(2-3x)

=5x-1-2+3x

=8x-3

Recuerda

El resultado debe organizarse de manera ascendente o descendente, es decir, de el mayor al menor o de el menor al mayor.

División

Consiste en hallar uno de los factores de un producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado divisor, y el producto de ambos factores llamado dividendo.

Teorema fundamental de la aritmética

Números primos (da click aquí para saber más del tema) 
Un número es considerado primo cuando es entero positivo, distinto de 0 y 1 y que únicamente se puede dividir por sí mismo y por 1 para dar una solución exacta. Entonces, este teorema declara que “Todo entero positivo puede descomponerse de manera única como un producto de números primos”.

Números compuestos 
Un número compuesto es aquel que es divisible por otros números que no sean 1 o el mismo. En otras palabras, tiene más factores que 1 y sí mismo.

Entonces, desarrollemos el teorema. 
Este teorema, dictado por Euclides, expone que todo número puede dividirse una y otra vez hasta llegar a un grupo pequeño de números iguales, siendo estos los números primos.
Tomando como referencia a los números primos como bloques de construcción; no importa cual sea el número que se elija, siempre se puede construir dicho número una adición de números primos.
Ahora bien, si buscamos todos los factores en los que se puede dividir cierta cantidad y los multiplicamos entre sí, esto nos dará el número original, a esto se le llama factorización prima. No existe otra manera de construir este número de diferente forma.
Ejemplo.