"Determinante de Gauss"

Instituto Patria Nueva

Determinante de Gauss

"Matemáticas III"

Prof. Marco Antonio Morales Contreras.

Julieta López Jiménez.

3°B BACHILLERATO.

31/08/2017. Villahermosa, Tab.

Determinante de Gauss, herramienta para la graficación de polígonos.

Dadas las coordenadas de un polígono formado en el plano cartesiano se puede determinar su área por el método determinante de Gauss y su perímetro por la fórmula de la distancia entre dos puntos. 

Conocido también como el método de lazada debido al constante cruce de operaciones parecido al de los lazados de los tenis, es un método práctico para calcular cualquier área de polígono ya que su fórmula es bastante sencilla de comprender (si se lleva a cabo correctamente el procedimiento) y poco extensa.

Área

Para poder calcular el área del polígono se debe tomar de base principalmente la fórmula que Gauss proporciona:

     1. Se forma el determinante (las dos columnas) con las coordenadas de lo vértices del polígono, considerando un orden igual al del giro de las manecillas del reloj.

     2. Se procede a multiplicar cruzadamente sumando cada uno de los resultados. Tomando en cuenta que la primera coordenada se debe poner dos veces: al principio y al final de la matriz (así como se muestra en el ejemplo de abajo).

= (2(2)+ 1(1)+ 4(3))

  (-3(1)+ 2(4)+ 1(2))

=(4+1+12)

=-(3+8+2)

= 1/2 |17-13| = |4|

     3. Ahora, debes dividir el resultado de tu determinante entre dos. La unidad de tu resultado será u^2.

= 4/2= 2u^2

Perímetro

Ahora bien, tomando como referencia el mismo polígono, debemos de calcular cada uno de los segmentos formados en el polígono para así poder obtener su perímetro.

De manera que primero debemos determinar cuál será el segmento que se calculará primero. Mi referencia será el segmento AB.

La fórmula general para realizar este procedimiento es la siguiente:

Esta fórmula nace debido a que al proyectar los puntos de un segmento y generar un triangulo rectángulo podemos despejar el teorema de Pitágoras para este tipo de situaciones, sin embargo, no necesariamente debe ser un triángulo rectángulo para poder utilizar este procedimiento, es por eso que es una formula general.

Sustituimos los valores, combinandolos de la siguiente forma:

Lo siguiente seria despejar la fórmula, tratando de dejar los resultados en raíz para evitarnos los decimales periódicos.

Posteriormente, debemos realizar dicha operación con cada uno de los segmentos:

Finalmente, debemos sumar el resultado de los rayos para así poder obtener el perímetro que es igual al contorno de toda la figura.

Muchas veces podemos llegar a creer que un problema es sumamente difícil cuando vemos el algoritmo que debemos llevar, sin embargo cuando logras analizarlo correctamente y conectar tus ideas comprendes el tema y por consiguiente podrás llevarlo a la práctica. 

Entonces, al conocer estos métodos podremos determinar el área y perímetro de cualquier polígono ya que estas son fórmulas generales para cualquier situación.

Si crees que necesitas repasar el tema una vez más, te invito a que visites los siguientes links como sugerencia mía.

Área y perímetro de un triángulo

Área de polígonos conociendo sus vértices

Área por medio de determinantes

Perímetro de un polígono

REFERENCIAS

1. Desconocido. (Desconocido de Desconocido de Desconocido). Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones. Obtenido de Universidad de granada: http://www.ugr.es/~mmartins/docencia/Biotec/M1_T1.pdf
2. García., P. F. (16 de Marzo de 2011). CÁLCULO DEL ÁREA DE UN POLÍGONO. Obtenido de Scribd: https://es.scribd.com/doc/50892425/CALCULO-DEL-AREA-DE-UN-POLIGONO
3. Gerarjam. (18 de Septiembre de 2009). Área de polígonos . Obtenido de Slide share: https://es.slideshare.net/gerarjam/rea-de-polgonos-2020579
4. MateFacil. (14 de Julio de 2016). 08. Perímetro de un triángulo en el plano cartesiano (con gráfica y fórmula de distancia). Obtenido de Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=pGDsRSooBY0
5. Quidiello, M. J. (05 de Octubre de 2013). Determinante de una matriz por el método de Gauss. Obtenido de Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=4A1igGh05FM